GRAF PLANAR

GRAF

Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)

·         Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar,

·         jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar.

·         K4 adalah graf planar:

·         K5 adalah graf tidak planar:

Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane graph). 

Aplikasi Graf Planar

·         Persoalan utilitas (utility problem)

·          Perancangan IC (Integrated Circuit)

·         Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam ICboard yang saling bersilangan  dapat menimbulkan interferensi arus listrik  malfunction

·          Perancangan kawat memenuhi prinsip graf planar

Contoh :

1.  Misalkan graf sederhana planar memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk?

Jawaban:

·          Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul = 24x4 = 96.

·          Menurut lemma jabat tangan, jumlah derajat = 2x jumlah sisi, sehingga jumlah sisi = e = jumlah derajat/2 = 96/2 = 48

·         Dari rumus Euler, n – e + f = 2, sehingga  f = 2 – n + e = 2 – 24 + 48 = 26 buah.

·         Pada graf planar sederhana terhubung dengan f  buah wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (e > 2) selalu berlaku: e<= 3n – 6

·         Ketidaksamaan yang terakhir dinamakan ketidaksamaan Euler,

·         yang dapat digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana

·         kalau graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan Euler, sebaliknya jika tidak planar maka ketidaksamaan tersebut tidak dipenuhi.

Teorema Kuratoswki

Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suat graf. 

Gambar

(a) Graf Kuratowski pertama (K5)     

(b) Graf Kuratowski kedua (K3, 3)        

(c) Graf yang isomorfik dengan graf Kuratowski kedua

Sifat graf Kuratowski adalah:

1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur.

2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar

3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkannya menjadi graf planar.

4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah simpul minimum, dan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah sisi minimum.

TEOREMA Kuratowski.

Graf G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak mengandung upagraf yang isomorfik dengan salah satu graf Kuratowski atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya.

Lintasan dan Sirkuit Euler

·         Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. 

·         Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali. 

·         Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph)

TEOREMA. Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika (graf semi-Euler) dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali.

TEOREMA. Graf tidak berarah G adalah graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap.

TEOREMA. 

(a) Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama. 

(b) G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar.

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

·         Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali.

·         Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali.

·         Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

TEOREMA.  Syarat cukup supaya graf sederhana G dengan n >= 3) buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v)>= n/2 untuk setiap simpul v di  G).  (coba nyatakan dalam “jika p maka q”)

TEOREMA.  Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.

TEOREMA. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n>= 3), terdapat (n – 1)!/2 buah sirkuit Hamilton

TEOREMA. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n>= 3 dan n ganjil), terdapat (n – 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n >= 4, maka di dalam G terdapat (n – 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.

Beberapa graf dapat mengandung sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton sekaligus, mengandung sirkuit Euler tetapi tidak mengandung sirkuit Hamilton, dan sebagainya

Beberapa Aplikasi Graf

·         Lintasan terpendek (shortest path) (akan dibahas pada kuliah IF3051)

·         Persoalan pedagang keliling (travelling salesperson problem)

·         Persoalan tukang pos Cina (chinese postman problem)

·         Pewarnaan graf (graph colouring)

Persoalan Pedagang Keliling (travelling salesperson problem (TSP)

Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota. Tentukan tur terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan.

==> menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum.

Aplikasi TSP:

1.Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi di berbagai sudut kota.

2.Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalur perakitan.

3.Produksi n komoditi berbeda dalam sebuah siklus.

Pewarnaan Graf

·         Ada dua macam: pewarnaan simpul, dan pewarnaan sisi

·         Hanya dibahas perwarnaan simpul

·         Pewarnaan simpul: memberi warna pada simpul-simpul graf sedemikian sehingga dua simpul bertetangga mempunyai warna berbeda.

·         Aplikasi pewarnaan graf: mewarnai peta.

·         Peta terdiri atas sejumlah wilayah.

·         Wilayah dapat menyatakan kecamatan, kabupaten, provinsi, atau negara.

·         Peta diwarnai sedemikian sehingga dua wilayah bertetangga mempunyai warna berbeda.

·         Nyatakan wilayah sebagai simpul, dan batas antar dua wilayah bertetangga sebagai sisi.

·         Mewarnai wilayah pada peta berarti mewarnai simpul pada graf yang berkoresponden.

·         Setiap wilayah bertetangga harus mempunyai warna berbeda  warna setiap simpul harus berbeda.

·         Bilangan kromatik: jumlah minimum warna yang dibutuhkan untuk mewarnai peta

·         Simbol: x(G).

·         Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatis k dilambangkan dengan x(G) = k.

·         Graf di bawah ini memiliki x(G) = 3

·         Graf kosong Nn memiliki x(G) = 1, karena semua simpul tidak terhubung, jadi untuk mewarnai semua simpul cukup dibutuhkan satu warna saja.

·         Graf lengkap Kn memiliki x(G) = n sebab semua simpul saling terhubung sehingga diperlukan n buah warna.

·         Graf bipartit Km,n mempunyai x(G) = 2, satu untuk simpul-simpul di himpunan V1 dan satu lagi untuk simpul-simpul di V2.

·         Graf lingkaran dengan n ganjil memiliki x(G)  = 3, sedangkan jika n genap maka x(G)  = 2.

·         Sembarang pohon T memiliki x(T) = 2.

·         Untuk graf-graf yang lain tidak dapat dinyatakan secara umum bilangan kromatiknya

·         Perkembangan teorema pewarnaan graf:

TEOREMA 1. Bilangan kromatik graf planar <= 6.

TEOREMA 2. Bilangan kromatik graf planar <= 5.

TEOREMA 3. Bilangan kromatik graf planar <= 4.

• Teorema 4 berhasil menjawab persoalan 4-warna (yang diajuka pada abad 19): dapatkah sembarang graf planar diwarnai hanya dengan 4 warna saja?

·         Jawaban dari persoalan ini ditemukan oleh Appel dan Haken yang menggunakan komputer untuk menganalisis hampir 2000 graf yang melibatkan jutaan kasus