RELASI DAN FUNGSI

Teman teman mari kita belajar RELASI DAN FUNGSI.

Relasi

Relasi biner antara A dan B adalah himpunan bagian dari A×B.

R ⊆ (A×B) dibaca R subset A×B.

A = daerah asal (domain)

B = daerah hasil (range atau codomain)

Ingat perkalian kartesian:

A×B={(a,b)| a∈A ⋀ b∈B}

Contoh:

A={Ali, Ani} B={MTK, IPS, IPA}

R=relasi yang menyatakan matakuliah yang diambil oleh mahasiswa.

Jumlah pasangan terurut yang mungkin |A×B|=2×3=6

Misalkan R={(Ali,MTK), (Ani,IPA), (Ani,MTK)}

Dapat dilihat bahwa R⊆(A×B) dan |R|=3.

·         Penyajian Relasi dengan Diagram Panah: 

·         Penyajian Relasi dengan Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

A	B
Ali	MTK
Ani	MTK
Ani	IPA

·         Penyajian Relasi dengan Matriks

Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]

dalam hal ini :

dapat dinyatakan dengan matriks:

Dalam hal ini a1=Ali, a2=Ani, b1=MTK, b2=IPA, b3=IPS.

·         Penyajian Relasi dengan Graft Berarah

o   Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)

o   Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

o   Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)

o   Jika (a, b) Î R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).

o   Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.  

Sifat Sifat Relasi

·      Sifat Reflekatif :

Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk p € P berlaku (p,p) €  R.

Contoh : Diberikan Himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif  sebab setiap angggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

·      Sifat Simetris :

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x,y) € R berlaku (y,x) €  R.

Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat simetris untuk setiap (x,y) € R, berlaku (y,x) € R.

·      Sifat Transitif :

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat Transitif, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,z) € R maka berlaku (x,z) € R.

Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi  pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan  R= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat Transitif sebab (x,y) € R din (y,z) € R  berlaku (x,z) € R.

·      Sifat Antisimetris

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,x) € R berlaku x=y.

Contoh : Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

·      Sifat Ekuivalensi

R disebut equivalence relation jika bersifat: reflexive, symmetric, dan transitive.  Contoh: R={(x,y)| x,y∈Mahasiswa ⋀ (x seangkatan dengan y)}

·      Sifat Pengurutan Parsial (partial ordering relation)

R disebut partial ordering relation jika bersifat: reflexive, antisymmetric, dan transitive. Contoh: R={(x,y) | x,y ∈ Z ⋀ x ≤ y}

Fungsi

·         Misalkan A dan B himpunan.

·         Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.

·         Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan  f : A → B  yang artinya f memetakan A ke B.

·         A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

·         Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

·         Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

·         Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

·         Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

Sifat- Sifat Fungsi

1.        Fungsi Into

 Fungsi f : A → B disebut Into jika ada anggota B tidak mempunyai pasangan dengan anggota A. 

2.        Fungsi Onto ( Surjektif )

Fungsi f : A → B  disebut onto jika setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A. Sehingga

berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3.        Fungsi Satu-Satu ( Injektif )

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f : A→B adalah fungsi injektif . ( Untuk anggota B yang mempunyai pasangan dengan Anggota A, pasangan tersebut hanya satu ).

4.        Fungsi Korespondensi Satu-satu ( Bijektif )

Fungsi f : A → B  disebut korespondensi satu-satu jika fungsi tersebut injektif dan sekaligus

surjektif.