GRAF

GRAF

    Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

Definisi Graf

Graf G = (V, E), yang dalam hal ini:

       V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices)

          = { v1 , v2 , ... , vn }

       E = himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul

         = {e1 , e2 , ... , en }

Jenis-Jenis Graf

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis:

 1. Graf sederhana (simple graph).

Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana.

 2. Graf tak-sederhana (unsimple-graph).

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph).

·      Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf

dibedakan atas 2 jenis:

1. Graf tak-berarah (undirected graph)

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.

 2. Graf berarah (directed graph atau digraph)

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.

·      Contoh Terapan Graf

1.      Rangkaian listrik.

2.      Isomer senyawa kimia karbon

3.      Jejaring makanan (Biologi)

4.      Pengujian program

5.      Pemodelan Mesin Jaja (vending Machine)

Terminologi Graf

1. Ketetanggaan (Adjacent)

Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.

2. Bersisian (Incidency)

Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan e bersisian dengan simpul vj , atau e bersisian dengan simpul vk

3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex)

Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.

4. Graf Kosong (null graph atau empty graph)

Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (Nn).

 5. Derajat (Degree)

Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut.

Notasi: d(v)

6. Lintasan (Path)

Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,... , vn –1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ... , en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G.

 7. Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)               

Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus. Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut.

 8. Terhubung (Connected)

Dua buah simpul v1 dan simpul v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2. G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj               dalam himpunan V terdapat lintasan dari vike vj. Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph).

·         Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tidak berarahnya terhubung (graf tidak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya).

·          Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari

u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u.

·         Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly coonected).

 9. Upagraf (Subgraph) dan Komplemen Upagraf

Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G1 = (V1, E1) adalah upagraf (subgraph) dari G jika V1 Í V dan E1 Í E. Komplemen dari upagraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya.

 10. Upagraf Rentang (Spanning Subgraph)

Upagraf G1 = (V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan upagraf rentang jika V1 =V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G).

 11. Cut-Set

Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen. Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung.

12. Graf Berbobot (Weighted Graph)

Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot).

Beberapa Graf Khusus

 a. Graf Lengkap (Complete Graph)

Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul.

 b. Graf Lingkaran

Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn.adalah n(n – 1)/2.

 c. Graf Teratur (Regular Graphs)

Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r. Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2.

 d. Graf Bipartite (Bipartite Graph)

Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graf bipartit.

Representasi Graf

 1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

A = [aij],

1, jika simpul i dan j bertetangga

aij = {

0, jika simpul i dan j tidak bertetanggainyatakan sebagai G(V1, V2).

 2. Matriks Bersisian (incidency matrix)

A = [aij],

1, jika simpul i bersisian dengan sisi j

aij = {

0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j

 3. Senarai Ketetanggaan (adjacency list)

Graf Isomorfik

 Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency matrices) dari sebuah graf tidak berarah.

Graf Isomorfik

·         Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik.

·         Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi sisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga.

·         Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ yang di G2.

·         Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat digambarkan dalam banyak cara.

Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf isomorfik memenuhi ketiga syarat berikut [DEO74]:

1. Mempunyai jumlah simpul yang sama.

2. Mempunyai jumlah sisi yang sama

3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu.